KATA
PENGANTAR
Puji syukur kehadirat
Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan
Hinayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk
maupun isinya yang sangat sederhana.Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai
salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca .
Makalah
ini membahas tentang sejarah bilangan dan sistem numerasi. Seperti yang telah
kita ketahui, perkembangan zaman ditentukan pula dari perkembangan ilmu
pengetahuannya. Ilmu Matematika tentang bilangan dan numerasi ternyata mengalami
perkembangan dan berbeda ditiap-tiap negara. Dari bilangan tersebut
masing-masing zaman memiliki keunikan yang berbeda-beda, dalam makalah ini akan
di bahas mengenai sistem numerasi, yaitu sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Untuk
lebih jauh, penulis akan jabarkan di dalam makalah ini.
Harapan kami semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca,
sehingga kami dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.
Makalah ini kami akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang kami miliki sangat kurang. Oleh kerena itu kami harap kan kepada para pembaca untuk memberikan
masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.
Jember , 31 Agustus 2015
Penulis
DAFTAR
ISI
Kata Pengantar ........................................................................................................1
Daftar isi ..................................................................................................................2
BAB I PENDAULUAN ..........................................................................................3
A. Latar Belakang
...................................................................................................3
BAB II ISI ...............................................................................................................4
A.
Sistem Numerasi ..............................................................................................4
1.
Sistem Numerasi
Hindu-Arab .....................................................................4
a.
Sistem angka decimal ............................................................................5
b.
Sistem angka
non-desimal .....................................................................5
2.
Sistem Numerasi
Romawi ...........................................................................6
3.
Sistem Numerasi
Yunani Kuno ...................................................................7
a. Yunani kuno attik ..................................................................................8
b. Yunani kuno alfabetik
...........................................................................8
4. Sistem Numerasi Maya
.............................................................................10
5. Sistem Numerasi Mesir Kuno
...................................................................11
BAB III PENUTUP
...............................................................................................13
A.
Kesimpulan ....................................................................................................13
B.
Saran
...............................................................................................................13
Daftar Pustaka
.......................................................................................................14
BAB I
PENDAULUAN
A.
LATAR BELAKANG
Pada mulanya
di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai
besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika,, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan
Gangga.
Sejarah
menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim
sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan
yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur
untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban
memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak.
Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan pada awalnya
hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah
para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang
tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat
penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan
keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena
bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam
dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya
digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting
yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk
menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.
BAB II
ISI
A. SISTEM NUMERASI
Sistem numerasi adalah
sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang
menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan. Banyaknya suku bangsa
di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu
suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambing, tetapi suatu lambang
menunjuk hanya pada satu bilangan. Beberapa sistem numerasi yang
dikenal:
1.
Sistem
Numerasi Hindu – Arab ( 300 SM – 750 M)
Menurut sejarahnya,
sistem ini bermula dari India sekitar tahun 300 SM, belum menggunakan nilai
tempat dan belum mempunyai lambang nol. Mereka mulai menggunakan sistem nilai
tempat diperkirakan terjadi pada tahun 500 M. Sistem numerasi Hindu-Arab
menggunakan sistem nilai tempat dengan basis 10 yang dipengaruhi oleh
banyaknya jari tangan, yaitu 10. Berasal dari bahasa latin decem
yang artinya sepuluh, maka sistem numerasi ini sering disebut sebagai sistem
desimal. Tidak diketahui pastinya kapan dan di mana dimulainya lambang nol digunakan,
hanya ada beberapa dugaan bahwa lambang nol ini berasal dari Babylonia lewat
Yunani.
Sistem
angka Hindu-Arab ini mempunyai sifat:
·
menggunakan sepuluh
lambang dasar yang disebut angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
·
Bilangan yang
lebih dari sepuluh dinyatakan dalam perpangkatan dari 10
·
Mempunyai nilai
tempat
·
Bersifat aditif
Contoh :
3534
= 3(10)3 + 5(10)2 + 3(10) + 4
Sistem
numerasi Hindu-Arab adalah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat.
Nilai kedudukan dalam sistem ini berbasis 10, seperti ditunjukkan dibawah:
Perlu
diperhatikan bahwa meski pun angka 3 muncul dua kali, tetapi tempatnya berbeda,
maka nilainya juga berbeda. Nilai 3 yang pertama adalah 3000 sedangkan nilai 3
berikutnya 30. Beberapa pengembangan bilangan yang menggunakan sistem angka
Hindu-Arab dikemukakan sebagai berikut:
a.
Sistem
angka desimal
Sistem
angka Hindu-Arab menggunakan 10 lambang dasar. Karena sistem ini berdasarkan
pada sistem basis 10, sehingga dikenal dengan sistem desimal (decimal system).
Kata “desimal” berasal dari kata Latin “decem” yang artinya sepuluh. Lambang
dasar yang digunakan dalam sistem ini adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dalam sistem ini, penempatan suatu angka dalam suatu deretan angka menentukan
nilainya.
Bilangan
yang lebih besar dari 1 dipisahkan dari bilangan yang lebih kecil dari 1
(pecahan)olah tanda desimal yaitu koma (,). Di sebelah kiri koma, angka pertama
bernilai sebesar angka itu sendiri, angka berikutnya bernilai sepuluh kalinya,
angka berikutnya bernilai seratus kalinya, dan seterusnya. Di sebelah kanan
koma desimal, angka pertama bernilai sepersepuluh angka itu sendiri, angka berikutnya
seperseratusnya, dan seterusnya.
Dalam
penulisan 103, bilangan 3 adalah “pangkat” dan merupakan cara lain
untuk mengemukakan 10 10 10 atau 1000. Demikian pula pangkat negative digunakan
untuk menuliskan pecahan desimal, yakni 10-3 berarti (1/103)
atau 1/1000 atau 0,001.
Dalam
sistem pangkat muncul pertanyaan tentang arti 100 (sepuluh berpangkat
nol). Dari deretan bilangan, tampak bahwa 100 ada di antara 101
dan 10-1 atau di antara 10 dan 1/10, dan ditetapkan sama dengan
satu. Akhirnya, setiap bilangan, kecuali nol, ditetapkan sama dengan satu.
b.
Sistem
angka non-desimal
Kenyataan
bahwa sistem perhitungan kita sekarang yaitu sistem angka desimal mungkin
disebabkan karena banyaknya jari kira sepuluh. Seandainya manusia dilengkapi
dengan dua belas jari tangan, kemungkinan sistem angka dengan dasar dua
belaslah yang digunakan. Tetapi tidaklah sulit untuk membuat sistem angka
Hindu-Arab untuk suatu bilangan cacah lebih dari satu. Sebagai contoh, pada
suatu sistem septimal, dengan dasar tujuh yang digunakan, angka 432,516
mempunyai arti yang sama dengan sistem desimal, kecuali bahwa pangkat dari
tujuh yang digunakan, bukan pangkat dari sepuluh. Angka nondesimal dapat diidentifikasikan dengan
memperhatikan indeksnya (subscrip). Sebagai contoh, 3457 adalah
suatu angka septimal (basis tujuh).
2.
Sistem Numerasi Romawi
(± 100 SM)
Peradaban Romawi lebih mengedepankan ilmu
praksis khususnya tentang Aritmatika. Dalam Hal ini ilmu matematika yang
menjadi peradaban adalah matematika langsung dalam artian dalam bentuk hasil
karya atau penerapan matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Penyelesaiaan
matematika dalam hal pembayaran bunga dan soal-soal bunga (rente), penyelesaian
pembagian harta waris, pembentukan kalender, dll.
Sistem numerisasi Romawi yang sekarang ini merupakan
modernisasi siste adisi dari sistemnya yang lama. Sistem ini bukan sistem yang
mempunyai nilai tempat, kecuali pada hal-hal tertentu yang sangat terbatas.
Sistem ini juga tidak mempunyai nol.Sistem Romawi sudah ada sejak 260 tahun SM.
Tetapi sistem Romawi yang seperti sekarang ini belum lama dikembangkannya.
Misalnya lambang bilangan untuk empat adalah “IV” yang sebelumnya adalah
“IIII”. Lambnag untuk 50 = L pernah bentuknya ^, û, dan ¯. Lambang 100 =
C.
Lambang
yang digunakan dalam Sisem Numerasi Romawi
Sistem romawi :
1.
Lambang romawi menggunakan huruf besar
2. Tidak ada angka 0
3.
Tidak mengenal nilai tempat
Aturan
penulisan numerasi romawi :
1.
Penjumlahan
Lambang pada bagian kanan menyatakan bilangan yang lebih kecil.
Contoh :
XI :
10+1= 11
DC :
500+100= 600
2. Selisih (Pengurangan)
Lambing pada bagian kiri menyatakan bilangan yang lebih kecil.
Aturan Pengurangan :
a. I hanya dapat di
kurangkan dengan V dan X
b. X hanya dapat dikurangkan
dengan L dan C
c. C hanya dapat dikurangkan
dengan D dan M
“Dalam pengurangan tidak boleh mengurangi sampai dua kali “
Contoh : IIX≠8= VIII
Contoh dari pengurangan :
IX= 10-1 = 9
XCIX=(100-10)+(10-1)=99≠IC
3. Perkalian
Dalam suatu bilangan terdapat coretan strip (-) atau coretan diatas lambang
(–̤) = ... x 1000 : X, C, M, V, L, D kecuali I
(˭) = ... x 1.000.000 : I V X C L D M
4. Pengulangan
Tidak boleh mengulang lambang I X C M lebih dari 3 kali secara berurutan (maksimal
3kali)
Sedangkan V L D maksimal mengulang 1 kali
Contoh = IIII ≠ 4 = IV
3.
Sistem Numerasi Yunani
Kuno (±600 SM)
Zaman keemasan
bangsa yunani kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600 S.M Bangsa
Yunani telah mengenal huruf dan angka yang ditandai dengan tulisan-tulisan
bangsa Yunani pada kulit kayu atau logam sehingga bentuk tulisannya pun
terlihat kaku dan kuat. Pada zaman itu banyak bermunculan
ahli-ahli matematika dari Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides,
Archimides, Appollonius.
a.
Yunani kuno
attik
Sistem numerasi ini
berkembang sekitar abad 300 S.M. dan dikenal sebagai angka acrophonic karena
simbol berasal dari huruf pertama dari kata-kata yang mewakili simbol: lima,
puluhan, ratusan, ribuan dan puluh ribuan. Tulisan ini ditemukan di daerah
reruntuhan Yunani yang bernama Attika. Sistem numerasi attik dilambangkan
sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat.
Lambang-lambang
lain yang mendasari sistem ini, yaitu:
1 Ι
10 Δ [Deka]
100 Η [Hɛkaton]
1000 Χ [K ʰ ilioi / k ʰ
ilias]
10000 Μ[Myrion]
Aturan
Penulisan:
Dalam sistem
numerasi ini, lambang nol belum ada. Sistem numerasi ini adalah sistem numerasi
aditif dan multiplikatif. Multiplikatif terlihat pada penggunaan lambang dimana
setiap lambang dasar yang sama dapat disingkat dengan menggunakan lambang
tersebut.
Contoh
Penulisan Multiplikatif :
23 = Δ ΔIII
45 = Δ Δ Δ Δ┌
50 = Δ Δ Δ Δ Δ
atau éΔ
120 = H Δ Δ
1234 = XHH Δ Δ
ΔIIII
43210 =MMMMXXX
HH Δ
b.
Yunani
kuno alfabetik
Digunakan
setelah S.N. Yunani kuno attic, Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia dari
Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri
yang terdiri dari 27 huruf. Bilangan dasar yang mereka
pergunakan adalah 10.
Lambang yang
digunakan dalam Sistem Numerasi Yunani Kuno Alfabetik
1 = α alpha 10 = ι iola 100 = ρ rho
2 = β beta 20 = κ kappa 200 = σ sigma
3 = γ gamma 30 = λ lambda 300 = τ tau
4 = δ delta 40 = μ mu 400 = υ upsilon
5 = ε epsilon 50 = ν nu 500 = φ phi
6 = ζ obselet
digamma 60 = ξ xi 600 = χ chi
7 = ι zeta 70 = ο omicron 700 = ψ psi
8 = η eta 80 = π pi 800 = ω omega
9 = θ theta 90 = ά obselet
koppa 900 = Ў obselet sampi
Aturan penulisan Sistem
Yunani Kuno Alfabetik
·
Bilangan yang terdiri
dari 2 (dua) digit caranya dengan menjumlahkan angka puluhan dengan angka
satuan.
Contoh:
19
= 10 + 9 = iq
23
= 20 + 3 = Àg
78
= 70 + 8 = oh
·
Bilangan yang terdiri
dari 3 (tiga) digit caranya dengan menjumlahkan angka ratusan dengan angka
puluhan dengan angka satuan.
Contoh:
174
= 100+70+4 =rod
448
= 400+40+8 =umh
589 = 500+80+9 =jpq
·
Bilangan yang terdiri
dari 4 (empat) digit atau ribuan, dengan cara membubuhi tanda aksen (‘).
Contoh:
1000
= a’
3734
= g’jld
1287
= a’spz
·
Bilangan yang terdiri
dari 5 (lima) digit atau lebih, dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas
tanda M.
Contoh:
23734
= β Mg’jld
231578
=Àg Ma’foh
4.
Sistem Numerasi Maya (±300 SM)
Peradaban Maya
telah menetap di wilayah Amerika Tengah dari sekitar 2000 SM, meskipun yang
disebut sebagai Periode Klasik membentang dari sekitar 250 SM sampai 900 SM. Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa Maya bentuknya sangat
aneh,berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Hal ini tentu dipengaruhi
oleh alat tulis yang dipakai,yaitu tongkat yang penampangnya lindris
(bulat),sehingga dengan cara manusukkan tongkat ke tanah liat akan berbekas
lingkaran atau dengan meletakkan tingkat mereka sehingga berbekas aris.
Aturan
penulisan sistem Numerasi Maya :
a. Telah mengenal lambang nol.
b. Menggunakan basis 20.
c. Ditulis secara tegak.
d.
Untuk menyatakan 180, bilangan 180 ditulis sebagai kelipatan dari 9,yaitu (9x20) + 0.
Suku Maya
menyusun angka mereka untuk menandakan nilai tempat berbeda. Prinsipnya dapat
dilahat gambar berikut:
Jumlah 31.781.148
adalah nilai dalam basis 10. Angka yang ditulis dengan ringkas dalam sistem
Maya yaitu 11.0.14.0.17.8 dimana angka yang ditulis adalah angka untuk nilai
tempat.Ada dua kelebihan dengan menggunakan sistem ini, yaitu:
a. Mudah menunjukkan angka yang lebih besar.
b. Aritmatikanya mudah untuk diselesaikan oleh orang.
5.
Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM)
Menurut
sejarah, bangsa Mesir adalah termasuk bangsa yang berkebudayaan tinggi. Hal ini
dapat diketahui dari bangunannya yang sangat besar, misalnya bangunan piramida,
sphink dan yang terkenal dengan obelisk. Tentu saja bangunan tersebut
dibuat oleh tangan-tangan manusia yang sangat cerdas, karena hanya bangsa yang
berkebudayaan tinggi yang mampu menciptakan bangunan yang megah.
Aturan-aturan
penulisan sistem numerasi Mesir Kuno :
a.
Belum mengenal lambang nol.
b.
Belum menggunakan sistem nilai
tempat (untuk penulisannya bebas).
c.
Menggunakan sistem aditif, yaitu nilai dari bilangan sama dengan jumlah
nilai dari setiap lambang yang digunakan dan nilai dari lambang yang sama
adalah sama meskipun letaknya berbeda.
d.
Menggunakan sistem pengelompokkan
sederhana, yaitu jika lambang-lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai
1,n,n2,n3,….dan bersifat aditif. Sistem Mesir Kuno
mempunyai nilai-nilai 1,10,102,103,..dan bersifat aditif.
 |
|||
 |
|||
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Sejarah
mengenai bilangan perlu kita ketahui, karena dalam kehidupan sehari-hari kita
tidak bisa lepas dari sesuatu yang bernama angka. Angka tersebut merupakan
salah satu kerabat dari bilangan. Selain menambah wawasan, kita bisa sambil
belajar kembali.
B.
Saran
Setelah kita
mengetahui sejarah salah satu ilmu tentang matematika ini, diharapkan kita bisa
mengamalkan pengetahuan kita ini kepada yang belum
tahu.
DAFTAR PUSTAKA
0 komentar:
Posting Komentar