FPB dan KPK

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Pada makalah ini kita akan membahas tentang KPK dan FPB yang berkenaan dengan materi pengajaran Matematika di Sekolah Dasar. Pada saat ini banyak siswa yang belum mahir berhitung dan kreatif dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan matematika. Oleh karena itu, makalah ini disusun untuk membimbing siswa agar memiliki kemampuan berpikir logis, analisis, sistematis, kritis dan kreatif.
Untuk mewujudkan tujuan-tujuan tersebut, perlu dijelaskan beberapa petunjuk penggunaan makalah ini agar tepat guna. Adapun materi pembelajarannya adalah materi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Dimana dengan membahas materi ini semoga kita dapat menguasai materi tentang KPK dan FPB.



Rumusan Masalah
Bagaimana cara menetukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) pada suatu bilangan?
1.3 Tujuan Penulisan
Agar dapat mengerti cara menentukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) pada suatu bilangan.

Manfaat Penulisan
Agar dapat lebih memahami materi Matematika di Sekolah Dasar mengenai KPK dan FPB.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Menentukan Kelipatan Suatu Bilangan
Menentukan kelipatan suatu bilangan dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan seperti pada contoh dibawah ini.
Contoh :
Tentukan Kelipatan dari 2!

Menurut garis bilangan diatas dapat diketahui bahwa kelipatan dari 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, ...

Menentukan kelipatan suatu bilangan juga dapat dilakukan dengan mengajak siswa untuk melakukan praktik seperti berikut.
Dalam sebuah kelas terdapat 5 siswa yang masing-masing membawa 2 kelereng dalam kantung plastik. Siswa pertama memasukkan kantong kelereng ke dalam sebuah kotak, sehingga di dalam kotak terdapat 2 kelereng. Siswa kedua juga memasukkan kantong kelerengnya ke dalam kotak yang sama, sehingga kelereng yang ada di dalam kotak sebanyak 4 buah. Siswa ketiga juga memasukkan kantong kelerengnya, sehingga kelereng di kotak sebanyak 6 buah. Siswa keempat juga demikian, sehingga kelereng di dalam kotak sebanyak 8 buah. Begitu juga siswa kelima yang memasukkan kantong kelerengnya, sehingga dalam kotak ada 10 kelereng.
Cermati perubahan banyaknya kelereng yang ada dalam kotak setelah anak pertama memasukkan kantong kelerengya hingga anak kelima yang memasukkan kantong kelerengnya. Terdapat susunan angka, yaitu 2, 4, 6, 8, dan 10. Susunan angka tersebut dapat dijabarkan seperti berikut ini.




1×2, 2×2, 3×2, 4×2, 5×2 merupakan contoh dari bilangan asli yang dikalikan dengan 2, maka hasil dari perkalian tersebut merupakan bilangan kelipatan 2.

“Maka dapat disimpulkan bahwa kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan asli dengan bilangan itu sendiri.”
Coba tentukanlah:
Bilangan kelipatan 3
Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, . . .
Bilangan kelipatan 5 kurang dari 36
Bilangan kelipatan 5 kurang dari 36 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30 dan 35.
Bilangan kelipatan 8 lebih dari 40 dan kurang dari 100
Bilangan kelipatan 8 lebih dari 40 dan kurang dari 100 adalah 48, 56, 64, 72, 80, 88 dan 96.

Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan
Kelipatan persekutuan dua bilangan dapat dicari menggunakan garis bilangan seperti contoh soal berikut.
Contoh 1 :
Tentukan Kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3!

Bilangan kelipatan dari 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...
Bilangan kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...
Bilangan yang sama dari kelipatan 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, 24, ...

Bilangan yang sama besarnya itu disebut dengan kelipatan persekutuan dari bilangan kelipatan 2 dan bilangan kelipatan 3.


Contoh 2 :
Tentukanlah kelipatan persekutuan dari 2 dan 4 kurang dari 35
Kelipatan 2 kurang dari 35 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34.
Kelipatan 4 kurang dari 35 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.
Kelipatan persekutuan bilangan 2 dan 4 yang kurang dari 35 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 dan 32.

Tentukanlah kelipatan persekutuan dari 3 dan 6 kurang dari 37
Kelipatan 3 kurang dari 37 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36.
Kelipatan 6 kurang dari 37 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36.
Kelipatan persekutuan bilangan 3 dan 6 kurang dari 37 adalah 6, 12, 18, 24, 30 dan 36.

“Maka dapat disimpulkan bahwa kelipatan persekutuan adalah besarnya nilai kelipatan yang sama pada dua bilangan atau lebih”.



Faktor Suatu Bilangan
Untuk menentukan faktor dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan membagi bilangan tersebut dengan bilangan asli. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.






Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15.
Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Dari beberapa contoh di atas dapat disimpulkan bahwa faktor suatu bilangan adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut.
Menentukan Faktor Persekutuan Dua Bilangan
Beberapa faktor suatu bilangan ada yang sama, misalkan:








Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
Cermatilah faktor kedua bilangan di atas, mana sajakah yang sama?
Bilangan yang sama adalah 1, 2, dan 4. Bilangan yang sama inilah yang disebut dengan faktor persekutuan dari 8 dan 12.

Contoh :
Faktor dari 24 dan 30





Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24
Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30
Maka faktor persekutuan 24 dan 30 adalah 1, 2, 3, dan 6

Faktor dari 15 dan 25







Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, dan 15
Faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25
Maka faktor persekutuan 15 dan 25 adalah 1 dan 5.

Faktor dari 28 dan 36







Faktor dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14 dan 28
Faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36
Maka faktor persekutuan 28 dan 36 adalah 1, 2, dan 4

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa faktor persekutuan merupakan besarnya nilai faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.

Mengenal Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang mempunyai tepat dua faktor positif, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contohnya adalah sebagai berikut.
2 = 2 × 1, bilangan 2 hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan 2
3 = 3 × 1, bilangan 3 hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan 3
5 = 5 × 1, bilangan 5 juga hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan 5.

Menentukan Faktor Prima Suatu Bilangan dengan Pohon Faktor
Untuk mencari faktor prima suatu bilangan menggunakan pohon faktor adalah dengan cara membagi bilangan tersebut dengan suatu bilangan prima, dan hasil baginya kemudian dibagi lagi dengan suatu bilangan prima, seterusnya sampai hasil terakhir yang di dapat adalah bilangan prima.
Tentukan faktor prima dari 44
Penyelesaian
44

2 22

2 11
Faktor prima dari 44 adalah 2 dan 11.

Tentukan faktor prima dari 50
50

2 25

5 5
Faktor prima dari 50 adalah 2 dan 5.

Tentukan faktor prima dari 99
99

3 33

3 11
Faktor prima dari 99 adalah 3 dan 11.

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa Faktor prima merupakan bilangan-bilangan prima yang habis membagi suatu bilangan.


Menentukan Faktorisasi Prima Suatu Bilangan
Untuk menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan mengalikan semua faktor prima dari suatu bilangan tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh :
Tentukan faktorisasi prima dari 20
20
2 10
2 5
Faktorisasi prima dari 44 adalah 2 x 2 x 5 = 22 x 5
Tentukan faktorisasi prima dari 99
99

3 33

3 11
Faktorisasi prima dari 99 adalah 3 x 3 x 11 = 32 x 11

Tentukan faktorisasi prima dari 50
50

2 25

5 5
Faktorisasi prima dari 50 adalah 2 x 5 x 5 = 2 x 52
Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa faktorisasi prima merupakan perkalian dari semua faktor-faktor prima suatu bilangan.

2.4 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Dalam mencari nilai kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari suatu bilangan dapat digunakan beberapa cara, antara lain :
Menggunakan Garis Bilangan
Tentukan KPK dari 3 dan 5!
Mencari kelipatan dari 3 dan 5 menggunakan garis bilangan seperti dibawah ini.

Dari garis bilangan diatas dapat diketahui KPK dari 3 dan 5 adalah 15 yang ditunjukkan dengan panah yang menunjukkan kelipatan yang sama yaitu angka 15.


Menggunakan Kelipatan Persekutuan
Contoh :
Tentukanlah:
kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 5.
Kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, ...
Kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ...
Kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 berdasarkan data di atas adalah 15, 30, 45. Nilai terkecil dari kelipatan persekutuannya adalah 10, sehingga kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 10.

Kelipatan persekutuan terkecil dari 4, 6, dan 8
Kelipatan 4 yaitu 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, …
Kelipatan 6 yaitu 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
Kelipatan 8 yaitu 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
Kelipatan persekutuan dari 4, 6, dan 8 berdasarkan data di atas adalah 24, 48.
Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 4, 6, 8 adalah 24.

Menggunakan Faktorisasi Prima
Hal yang harus dilakukan dalam mencari KPK menggunakan cara faktorisasi prima yaitu:
buat pohon faktor dan tentukan faktorisasi primanya;
kalikan semua faktorisasi prima baik yang tunggal maupun yang memiliki nilai sama dengan mencari pangkat tertingginya (yang terbesar).
Contoh 1 : Carilah KPK dari 8, 12 dan 30!
Penyelesaian:
8 12 30

2 4 2 6 2 15

2 2 2 3 3 5

Faktorisasi primanya adalah
2 × 2 × 2 = 23 2 × 2 × 3 = 22 × 3 2 × 3 × 5
Faktorisasi prima dari 2 yang memiliki pangkat tertinggi (terbesar) adalah 23. Faktorisasi prima dari 3 nilainya sama untuk 12 dan 30 ambil salah satu saja yaitu 3. Faktorisasi prima dari 5 ada satu, ambil nilai 5. Sehingga KPKnya adalah 23 x 3 x 5 = 120.

Tentukan KPK dari 48 dan 72 !
Penyelesaian :
48 72
4 12 4 18
2 2 2 6 2 2 2 9
2 3 3 3
Mencari faktorisasi prima dari 48 dan 72 dengan pohon faktor :
Faktorisasi prima dari 48 adalah 24 × 3.
Faktorisasi prima dari 72 adalah 23 × 32.
a. Mengambil faktor yang sama dari 48 dan 72 yaitu 2 dan 3
b. Ada faktor yang sama tetapi pangkatnya berbeda maka diambil faktor yang pangkatnya terbesar
yaitu 24 dan 32.
Jadi, KPK dari 48 dan 72 adalah 24 × 32 = 16 × 9 = 144

Perhatikan contoh berikut ini !
Toko Baru dikunjungi pemasok telur setiap 8 hari, pemasok sabun setiap 15 hari, dan pemasok susu instan setiap 30 hari. Pada tanggal 2 Oktober 2012 ketiga pemasok datang bersama. Ketiga pemasok akan datang bersama lagi pada tanggal...
Penyelesaian
Faktorisasi prima dari 8 = 2³
Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5
KPK = 2³ x 3 x 5 = 120

Jadi ketiga pemasok akan datang bersama setelah 120 hari dari tanggal 2 Oktober 2012 yaitu tanggal 30 Januari 2013. ( Oktober 31 hari dikurangi 2 hari menjadi 29 hari, Nopember 30 hari, Desember 31 hari, Januari 2012 31 hari, sehingga Oktober + Nopember + Desember = 29 + 30 + 31 = 90 + 30 ( januari 2013) = 120 hari.
Berdasarkan contoh soal diatas dapat disimpulkan bahwa Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh dua bilangan atau lebih.

Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Andi memiliki 12 buah apel dan 18 buah jeruk. Dia berencana untuk membagikan buah-buah tersebut secara rata kepada temannya. Yang dimaksud rata di sini adalah bahwa temannya akan mendapatkan buah apel dan buah jeruk yang banyaknya sama dengan temannya yang lain.
Berapa banyak teman Andi maksimal yang akan menerima buah-buahan tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita cari FPB dari 12 dan 18 dengan beberapa cara, antara lain :
Menggunakan Faktor Persekutuan






Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6
Banyaknya teman Andi yang akan diberikan buah harus dapat membagi bilangan 12 maupun 18. Sehingga banyaknya teman Andi haruslah faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18, yaitu 1, 2, 3, dan 6.Karena banyaknya teman Andi haruslah 1, 2, 3, dan 6, maka banyaknya teman Andi maksimal adalah 6 orang. Enam merupakan bilangan terbesar dari faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18. Hal ini dapat dikatakan bahwa 6 merupakan FPB dari 12 dan 18.

Menggunakan Faktorisasi Prima
FPB dari dua bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan faktor persekutuan prima dari dua bilangan dengan pangkat terendah. Perhatikan contoh berikut!




Faktorisai prima dari 12 adalah 2×2×3=2^2×3
Faktorisasi prima dari 18 adalah 2×3×3=〖2×3〗^2

Faktor persekutuan prima dari 12 dan 18 adalah 2 dan 3. Faktor prima 2 dari 12 berpangkat 2, sedangkan faktor prima 2 dari 18 berpangkat 1. Kita pilih yang pangkatnya terendah, yaitu 2 pangkat 1. Demikian juga dengan faktor prima 3 dari 12 dan 18, kita pilih faktor yang pangkatnya terendah, yaitu 3 pangkat 1. Sehingga FPB dari 12 dan 18 adalah 2 × 3 = 6. maka banyaknya teman Andi maksimal yang menerima buah-buahan dari Andi adalah 6 orang.

Menggunakan Tabel
Setelah kita menentukan FPB dari 2 bilangan. Sekarang kita akan menentukan FPB dari 3 bilangan, yaitu 18, 24, dan 30. FPB dari 18, 24, dan 30 dapat ditentukan dengan menggunakan tabel sebagai berikut.
Aturan dari cara sengkedan adalah sebagai berikut:
Tuliskan bilangan-bilangan yang akan ditentukan FPB-nya secara mendatar.
Carilah bilangan prima yang dapat membagi sebagian atau seluruh bilangan tersebut. Untuk mencari bilangan prima ini, sebaiknya pilih bilangan prima dari yang terkecil: 2, 3, 5, dan seterusnya.
Apabila bilangan prima pembagi yang dipilih dapat membagi semua bilangan, lingkarilah bilangan prima tersebut. Tuliskan hasil baginya di baris bawah bilangan yang dibagi.
Apabila ada bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima pembagi, tuliskan kembali bilangan tersebut di baris bawahnya.
Lakukan terus menerus hingga mendapatkan suatu baris yang hanya berisi bilangan 1.
FPB dari bilangan-bilangan yang dicari adalah perkalian semua bilangan prima pembagi yang dilingkari.





Dari contoh di atas, kita memperoleh bahwa bilangan prima pembagi yang dilingkari adalah 2 dan 3. Sehingga FPB dari 18, 24, dan 30 adalah 2 × 3 = 6.


2.5 KPK dan FPB Dalam Perhitungan Pecahan
KPK Dalam Perhitungan Pecahan
KPK dalam perhitungan pecahan digunakan untuk menyamakan penyebut dalam operasi penjumlahan dan pengurangan.

Contoh :
Siti mempunyai seutas tali yang panjangnya 3/4 m. Fani mempunyai tali yang panjangnya 1/3 m. Bila mereka menyambung kedua tali itu, berapa meter panjang tali itu sekarang?
Penjelasan :
Kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, ...
Kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, ...
KPK dari 4 dan 3 adalah 12
Ubah semua penyebut dengan KPK, KPK dibagi penyebut soal, dikali pembilang soal, hasilnya adalah pembilang jawaban.
3/4 = 9/12 (12 : 4 = 3 × 3 = 9, 9 adalah pembilang)
1/3=4/12 (12 : 3 = 4 × 1 = 4, 4 adalah pembilang)
3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12 = 1 1/12


Berapakah hasil dari 5/6-3/7 ?
penjelasan :
Kelipatan dari 6 adalah6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Kelipatan dari 7 adalah 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...
KPK dari 6 dan 7 adalah 42
Ubah semua penyebut dengan KPK, KPK dibagi penyebut soal, dikali pembilang soal, hasilnya adalah pembilang jawaban.
5/6 = 35/42 (42 : 6 = 7 × 5 = 35, 35 adalah pembilang)
3/7=18/42 (42 : 7 = 6 × 3 = 18, 18 adalah pembilang)
5/6 - 3/7 = 35/42 - 18/42 = 17/42

FPB Dalam Perhitungan Pecahan
FPB dalam perhitungan pecahan digunakan untuk menyederhanakan bentuk pecahan seperti pada contoh dibawah ini.

Contoh :
Sedehanakan pecahan 24/32 !












Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Faktor persekutuan dari 24 dan 32 adalah 1, 2, 4, 8.
FPB dari 24 dan 32 adalah 8 karena 8 adalah angka terbesar yang dapat membagi habis 24 dan 32.
Sehingga 24/32 ∶ 8/8=3/4

2.6 Hubungan antara KPK dan FPB
a. Hubungan KPK dan FPB
Jika kita tahu KPK dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung FPBnya dengan menggunakan rumus berikut ini.

Jika kita tahu FPB dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus berikut ini.



Cara mudah mencari KPK dan FPB
Contoh:
Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 30.


Jawab:
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Faktor dari 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
FPB = 6
KPK = 6 x (4×5) = 120

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan asli dengan bilangan tersebut (bilangan yang ditentukan). Kelipatan persekutuan adalah besarnya nilai kelipatan yang sama pada dua atau lebih bilangan.
Faktor suatu bilangan adalah suatu bilangan yang dapat habis membagi bilangan tersebut. Faktor persekutuan merupakan besarnya nilai faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih bilangan.
Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang mempunyai tepat dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Faktor prima merupakan bilangan-bilangan prima yang habis membagi suatu bilangan. Untuk mencari faktor prima suatu bilangan dapat dilakukan dengan tabel dan pohon faktor.
Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dapat dilakukan dengan mencari kelipatan persekutuan, menggunakan faktorisasi prima, dan menggunakan tabel. Sedangkan menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB), dapat dilakukan dengan mencari faktor persekutuan, menggunakan faktorisasi prima dan menggunakan tabel.

DAFTAR PUSTAKA

1. Materi pokok PGSD2303/3SKS/MODUL 1-9
Buchori, dkk. 2004. Gemar Belajar Matematika 4 untuk Sekolah Dasar Kelas IV. Semarang; Aneka Ilmu.
http://eprints.uny.ac.id/7020/1/P6-Abusyafi--Siti%20Khanifah.pdf
http://repository.library.uksw.edu/bitstream/handle/123456789/1703/T1_262010738_BAB%20I.pdf?sequence=2
http://septimartiana.blogspot.com/2014/01/media-pembelajaran-dakonmatika.html